IL PENSIERO

Come molti sapranno, Nash meritò il Nobel per i suoi risultati sulla Teoria dei Giochi. Ma cos'è questa teoria dal nome strano, che fa pensare più a una sala fumosa dove si pratica il gioco d'azzardo che non alla stanza di lavoro - spesso disordinata e caotica (per gli altri!) - di uno scienziato?

La Teoria dei Giochi e il concetto di equilibrio di John Nash

Introduzione
La Teoria dei Giochi (TdG) è una disciplina che tanto i matematici quanto gli economisti considerano, in entrambi i casi con abbondanti ragioni di legittimità, come peculiarmente propria ed è stata a più riprese, e lo è tuttora, "luogo" di proficua collaborazione tra due mondi, quello astratto della Matematica e quello più concreto dell'Economia, che per tanti aspetti, e per vizi di entrambi, trovano difficoltà a svilupparsi in modo sinergico.La TdG nasce nel 1928 ad opera di uno dei più grandi scienziati del XX secolo, il matematico di origine ungherese John von Neumann [1], ma è con l'apparizione nel 1944 del volume Theory of Games and Economic Behavior, dello stesso von Neumann e dell'economista Oskar Morgenstern, che le potenzialità della stessa vengono sempre più riconosciute e sviluppate. Per questa ragione è convenzione generalmente accettata che l'anno di nascita della TdG sia il 1944 e che il luogo di nascita sia Princeton: l'Institute for Advanced Study.Il termine TdG è universalmente utilizzato ma non rende perfettamente l'idea di quale sia il nucleo centrale della disciplina che in modo più esplicativo potrebbe chiamarsi "Teoria delle Decisioni Interattive". Talvolta si parla anche di "Teoria delle Decisioni Strategiche". Le situazioni in cui bisogna prendere decisioni interattive sono innumerevoli. Nel volume Thinking strategically [2], gli autori Avinash Dixit e Barry Nalebuff esordiscono illustrando la differenza tra i contesti decisionali non interattivi e quelli interattivi facendo ricorso "alla differenza tra le decisioni di un boscaiolo e quelle di un generale. Quando il primo decide come tagliare un albero non si aspetta che esso reagisca: l'ambiente è neutrale. Ma quando il generale cerca di sbaragliare l'esercito nemico, deve anticipare e superare la resistenza che verrà opposta ai suoi piani." Un minimo di riflessione fa rilevare che in realtà la non interattività nel caso del boscaiolo è solo dovuta ad un fattore di scala. Forse nel tagliare un solo albero si può assumere che l'ambiente sia neutrale, ma che cosa dire nel caso di un foresta (o anche meno)? In altre parole, è più facile incontrare nel concreto situazioni in cui le decisioni di un individuo interagiscono con quelle di altri o di altre entità piuttosto che ambiti decisionali puramente non interattivi. Questa è la ragione della vasta gamma di applicazioni della TdG ai più diversificati contesti.

Esempi
Per introdurre in modo molto semplice qualche concetto, esponiamo alcuni esempi. Essi danno anche un'idea di quanto diversi possano essere i contesti in cui l'interazione umana è modellizzabile secondo gli schemi (naturalmente qui vediamo i più elementari) della TdG. Il primo lo potremmo chiamare "guerra dei quotidiani". I direttori di due importanti quotidiani, mettiamo il Corriere della Sera e La Repubblica, devono scegliere il titolo su cui incentrare la prima pagina basandosi, oltre che sui fatti rilevanti del giorno, sulle preferenze dei lettori e, ovviamente, con l'obiettivo di massimizzare il numero di copie vendute o, più correttamente, la penetrazione nel mercato dei quotidiani.Supponiamo che quel giorno i due avvenimenti più importanti siano la riforma del sistema pensionistico (tema oggi attuale) e la definizione (qui anticipiamo un po' i tempi) di un progetto di costituzione europea. Supponiamo, inoltre, che i lettori acquistino il giornale solo se il titolo principale di prima pagina rispecchi il loro interesse e che essi siano interessati per il 60% alla questione delle pensioni e solo al 40% alla costituzione europea. Infine, solo per fissare le idee, ipotizziamo che a parità di titolo il lettore sia indifferente su quale giornale acquistare per cui se La Repubblica e il Corriere della Sera aprono con lo stesso argomento essi si dividono equamente i lettori.

Strategie per La Repubblica

Il direttore può scegliere il titolo sulle pensioni e, in tal caso, la quota di mercato del suo giornale, che ovviamente dipende anche dalle scelte operate dal concorrente, è del 30%, nel caso in cui il Corriere apra anch'esso sulle pensioni, o del 60%, qualora il Corriere opti per la costituzione europea. Nel caso in cui, invece, il direttore di Repubblica scelga un titolo sulla costituzione europea, allora le quote di mercato del suo giornale saranno, rispettivamente, del 40% o del 20% a seconda che il Corriere si muova sulle pensioni o sulla costituzione europea.

Strategie per il Corriere della Sera

In modo del tutto simile si possono analizzare le conseguenze delle possibili decisioni del direttore del Corriere e determinare le quote di mercato realizzate in funzione delle scelte de La Repubblica.
Il tutto può essere riassunto in una tabella come quella della fig.1, in cui il direttore de La Repubblica può scegliere tra la prima e la seconda riga e quello del Corriere della Sera tra la prima e la seconda colonna. Leggendo le percentuali che appaiono all'intersezione della riga e della colonna scelte, si ha che il numero di sinistra rappresenta la quota di mercato de La Repubblica e quella di destra la quota di mercato raggiunta dal Corriere della Sera.

Guerra dei quotidiani		Corriere della sera
		Pensioni		Costituzione Europea
La Repubblica	Pensioni	30%	30%	60%	40%
	Costituzione Europea	40%	60%	20%	20%

Fig.1

Alla tabella della fig. 1 si dà il nome di gioco non cooperativo ad informazione completa, con ciò volendo riassumere che tanto il direttore di Repubblica che quello del Corriere la conoscono in ogni dettaglio (completezza dell'informazione) e che ciascuno di essi dovrà operare la propria scelta senza conoscere quella dell'avversario (non cooperazione) la quale, comunque, influenza le quote di mercato effettivamente raggiunte. In questo esempio i direttori dei quotidiani sono i giocatori e le opzioni disponibili per ognuno sono dette strategie. Si osservi che il fatto che i giocatori siano due come le strategie e che queste ultime siano le stesse per ogni giocatore, sono solo circostanze legate al tipo di esempio e non delle ipotesi necessarie alla TdG che, invece, può prevedere un arbitrario numero di agenti o giocatori ciascuno dei quali ha a propria disposizione un certo novero di strategie che, in generale, differisce da quello degli altri giocatori. Un altro esempio, probabilmente il più noto gioco di strategia, è il cosiddetto dilemma del prigioniero. Esso può essere descritto nel modo seguente. Mario e Carlo sono due pregiudicati arrestati perché devono entrambi scontare due anni di prigione. Tuttavia, essi sono sospettati anche di essere implicati (forse complici) in un crimine maggiore che comporterebbe per ognuno una pena ulteriore di 10 anni. Alla Polizia, che non è in grado di provare il loro coinvolgimento nel crimine maggiore, non resta che il tentativo di far confessare la partecipazione al misfatto più grave. Per questo sia a Mario che a Carlo, tenuti in celle separate, la Polizia avanza la seguente proposta: "se collabori a far incriminare il tuo amico per il reato più grave, il reato minore ti verrà derubricato e, se non sei coinvolto da lui, allora sei libero subito". Anche in questo caso con una tabella come quella in fig. 2 si possono riassumere tutte le eventualità. I numeri negativi riportati indicano gli anni di prigione.

Dilemma del Prigioniero		Carlo
		Collabora		Non Collabora
Mario	Collabora	-10	-10	0	-12
	Non Collabora	-12	0	-2	-2

Fig.2

Un terzo esempio, anche molto famoso, è il cosiddetto giudizio di Salomone. Si riferisce all'episodio biblico in cui, di fronte alla contesa di un bambino da parte di due donne, Prima e Seconda, il saggio re escogita il seguente gioco per affidare alla vera madre (che egli ovviamente non conosce) il bambino. All'insaputa l'una dell'altra, le due donne sono chiamate a scegliere fra le tre strategie:
- P, il bimbo è affidato a Prima;
- S, il bimbo è affidato a Seconda;
- U, il bimbo viene diviso in due metà assegnate alle due donne.
Una volta effettuata le scelta simultanea delle strategie, la conseguenza è che il bimbo viene:
- affidato a Prima se il risultato delle scelte è P,P oppure S,U oppure P,U;
- affidato a Seconda se il risultato delle scelte è U,P oppure U,S oppure S,S;
- ucciso negli altri casi.

La tabella della fig. 3 sintetizza il gioco. Il valore numerico delle "utilità" è fissato in modo convenzionale ma comunque tale da rispettare quello che la Bibbia lascia intendere (e su cui faceva affidamento Salomone). E cioè che per la vera madre, la conseguenza del bimbo ucciso è la peggiore mentre una donna che contende alla vera madre il figlio è così crudele da preferire il bimbo morto al bimbo affidato all'altra.

Giudizio di Salomone		Seconda
		P		S		U
Prima	P	1	-1	-1	0	1	-1
	S	-1	0	0	1	1	-1
	U	0	1	0	1	-1	0

Fig. 3

La questione di base

Naturalmente, la questione di base che si pone riguarda la possibilità o meno di prevedere il comportamento dei giocatori, ossia di predire il risultato del gioco. In qualche caso l'individuazione del risultato può essere banale, ma tali casi sono un'eccezione. Alcuni semplici esempi basteranno a guidarci verso l'obiettivo di illustrare la problematica a cui il concetto di Equilibrio di Nash fornisce una soluzione. Non si tratta di una soluzione esente da punti deboli, ma è un dato di fatto che il concetto di equilibrio di Nash si è rivelato essere il più fecondo di applicazioni nella TdG. Non si contano poi gli utilizzi nelle soluzioni proposte per problemi di economia (oligopoli, contrattazione, equilibri di mercato, beni pubblici, aste, assicurazioni, …), politica (controllo degli armamenti, elezioni, istruzione superiore) o, anche, biologia (teorie evolutive).

Esempi astratti

Supponiamo che per il giocatore 1 le strategie siano "alto", "basso" (nel gioco C vi è una terza strategia "medio"), mentre per il giocatore 2 sono "sinistra" e "destra". Consideriamo allora i quattro giochi A, B, C e D riportati in seguito. Riscontriamo una profonda differenza tra il gioco A e i giochi B e C. Viene da dire che A non è un vero gioco dato che in esso non esiste una vera situazione di conflitto tra i giocatori. Assumendo, come stiamo facendo, il comportamento razionale di questi ultimi, il risultato di A non può che essere (basso, destra), ossia in A è possibile che ogni giocatore raggiunga la massima utilità a sua disposizione.

Gioco A		Secondo giocatore
		Sinistra		Destra
Primo giocatore	Alto	1	2	3	1
	Basso	2	0	4	6

Gioco B		Secondo giocatore
		Sinistra		Destra
Primo giocatore	Alto	1	2	0	1
	Basso	2	1	1	0

Sia in B che in C i due giocatori possono avere una vincita al più pari a 2. Tuttavia la coppia dei guadagni non è mai pari a 2, 2 il che determina la presenza di un conflitto tra i giocatori sia in B che in C. Va da sé che i giochi non conflittuali non sono interessanti. Anche tra B e C vi è una differenza che rende B molto meno interessante di C. Infatti, sebbene per B il risultato non sia così banale come per A, con solo un po' di attenzione in più notiamo che B non può che risolversi in (basso, sinistra). Il punto è che l'agente 1 non può che scegliere la strategia "basso" in quanto essa gli garantisce comunque una vincita maggiore indipendentemente da ciò che sceglie il giocatore 2. Analogamente, quest'ultimo, per la stessa ragione, non può che optare per la strategia "sinistra". Nel caso del gioco B si dice che esso si risolve per dominanza esistendo per il giocatore 1 la strategia dominante "basso" e per 2 la strategia dominante "sinistra". Decisamente, il gioco C è più interessante. Semplicemente perché non siamo in grado di prevedere il comportamento né del giocatore 1 né di 2. Effettivamente, quale che sia la scelta dell'agente 1 (lo stesso discorso vale per 2), egli ne sarà soddisfatto o meno esclusivamente in funzione del comportamento dell'avversario. Dunque, egli non ha alcuna ragione per preferire a priori una o un'altra delle alternative disponibili. Questa incapacità di previsione suggerisce di raffinare la nostra analisi che, d'altra parte, finora si è basata su considerazioni molto ingenue. Si intuisce che sono due le direzioni da esplorare quando ci si trova di fronte a giocatori che non hanno strategie preferibili a priori. Primo, ci si deve chiedere quale può essere in questo caso la "ratio" che guiderà le scelte dei giocatori; secondo, quale può essere il senso da attribuire all'espressione "giocata soddisfacente". Alla prima domanda si risponde pervenendo al concetto di strategia mista. Quanto alla risposta alla seconda, essa conduce al concetto di Equilibrio di Nash.

Gioco C		Secondo giocatore
		Sinistra		Destra
Primo giocatore	Alto	2	1	0	0
	Medio	0	0	1	1
	Basso	1	2	2	0

Gioco D		Secondo giocatore
		Sinistra		Destra
Primo giocatore	Alto	1	1	1	0
	Basso	2	1	0	4

Strategie miste

Continuiamo a far riferimento al gioco C e, indifferentemente, al giocatore 1 oppure 2. All'agente che non ha ragioni per preferire a priori alcuna delle alternative possibili, non resta che operare una scelta casuale. Ma anche questa può essere "razionalizzata" e, allora, egli capirà che possono esistere scelte casuali più vantaggiose di altre. Verosimilmente, pensando ad una scelta casuale, il giocatore penserà ad una ingenua equiprobabilità delle alternative. Tuttavia, questo non è l'unico modo concepibile di procedere. Simuliamo con dei sorteggi il meccanismo di scelta a caso. Possiamo immaginare che 1 scelga "alto, medio, basso" a seguito dell'estrazione di una pallina da un'urna che contiene solo palline di tre colori differenti, corrispondenti ad "alto, medio, basso", in una data proporzione. Per fissare le idee, le percentuali di palline dei tre tipi siano rispettivamente a, m=1-a-b e b. Evidentemente, agendo sulla coppia di numeri a,b il giocatore 1 potrà stabilire di propendere di più o di meno per una delle alternative [3]. Analogamente, per il giocatore 2, un'urna contenente solo palline "sinistre" e "destre" in una data proporzione s (di sinistre, 1-s di destre), guiderà la scelta casuale della strategia di gioco.
Razionalità vuole che i giocatori operino, prima dell'effettiva estrazione della strategia da giocare, delle scelte di (a,b) ed s mirate, egoisticamente, ad accrescere le aspettative di vincita individuale.
La coppia di numeri (a,b) ed il numero s sono, per i due giocatori, le strategie miste: una nuova gamma di opzioni disponibili, molto più estesa dell'originaria costituita dalle sole strategie pure "alto, medio, basso" e "sinistra, destra". Il solo ricorso alle strategie miste non dà però garanzia che un gioco possa risolversi semplicemente. Con riferimento al gioco C, il conflitto permane (ossia non è possibile trovare (a,b) ed s in modo da massimizzare simultaneamente le aspettative di entrambi i giocatori) e non esistono strategie dominanti.

Equilibri di Nash

Quello che distingue i giochi A e B dal gioco C è che, mentre nei primi due siamo in grado di isolare, seguendo banali criteri di razionalità, un comportamento privilegiato dei giocatori, nel terzo questo non ci pare possibile. Allora non resta che tentare di usare criteri di razionalità meno semplici e meno vincolanti. A questo scopo, notiamo che soluzioni (basso, destra) e (basso, sinistra) prospettate per i giochi A e B hanno in comune l'ovvio fatto che se i due giocatori fossero chiamati a ripetere il gioco, entrambi non modificherebbero il loro modo di giocare in quanto ciascuno non avrebbe potuto giocare meglio dato il gioco avversario. L'idea, semplice e geniale al contempo, di Nash è quella di isolare proprio questa circostanza come un possibile criterio di gioco razionale.
Dunque, in un gioco, con un numero qualsiasi di giocatori, un risultato rispetta il criterio di Nash se nessun giocatore modificherebbe la propria strategia, restando ferme le strategie degli altri.
E' chiaro che di fronte all'effettivo presentarsi di un risultato che rispetti il criterio di Nash, ogni partecipante al gioco non ha modo di pentirsi della scelta effettuata: di meglio non avrebbe potuto fare, visto il gioco avversario; ne segue che sarà così indotto a ripetersi qualora il gioco si ripetesse. Questa circostanza chiarisce il fatto che si parli di risultato di equilibrio.
Nel gioco C selezioniamo immediatamente (alto, sinistra) come equilibrio di Nash. Il gioco D, invece, è privo di equilibri di Nash, ossia questi ultimi possono anche non esistere.Questa circostanza annullerebbe la portata del concetto di equilibrio di Nash se non accadesse, invece, che, allargando il gioco con il coinvolgimento delle strategie miste, è sempre possibile trovare equilibri. In altri termini, un gioco può non ammettere equilibri di Nash fin tanto che ci si limita alle strategie pure, ma, e questo è il famoso Teorema di Nash, il passaggio a strategie miste garantisce l'esistenza di risultati di equilibrio per qualsiasi gioco.

Il dilemma del prigioniero presenta un unico equilibrio di Nash. Infatti, sia Mario che Carlo hanno una strategia dominante: collaborare. Ciò determina un singolare risultato per questo gioco. I due pregiudicati saranno condannati a 10 anni pur essendo a priori disponibile il risultato di gran lunga migliore di una condanna per entrambi a due anni. Il dilemma del prigioniero mette in evidenza il contrasto che può presentarsi tra razionalità individuale e collettiva. Se Mario e Carlo optano entrambi per non collaborare ottengono la massima utilità collettiva possibile; quando egoisticamente puntano alla migliore utilità individuale finiscono per danneggiarsi entrambi. Nel giudizio di Salomone ci sono due equilibri di Nash S,S e U,S. In un certo senso essi sono indistinguibili poiché determinano lo stesso esito: l'affidamento a Seconda. Per contro, la Bibbia racconta che Prima scelse S e Seconda, pur avendo una strategia dominante (quella centrale) scelse U, rivelando così di non essere la vera madre. Un colpo di fortuna per Salomone che, in verità, non avrebbe mai potuto scoprire la vera madre se Seconda avesse agito in modo razionale.La guerra dei quotidiani presenta, in strategie pure, due equilibri di Nash: (pensioni, costituzione) e il simmetrico (costituzione, pensioni). Questo gioco, pur nella sua semplicità, mette in evidenza, con possibili risultati paradossali, la delicatezza delle questioni di cui si occupa la TdG. L'esistenza di due equilibri non consente di garantire una previsione per il risultato del gioco. E', inoltre, concepibile che l'egoismo di ciascuno porti a puntare all'equilibrio più vantaggioso. In tal caso il risultato del gioco è (pensioni, pensioni) e lascerebbe insoddisfatti entrambi i contendenti.